Las propiedades estadísticas que deben poseer los números pseudoaleatorios generados por los métodos congruenciales tienen que ver con independencia y aleatoriedad estadísticas.
Prueba de la frecuencia: Se usa para comprobar la uniformidad de una sucesión de N números pseudoaleatorios. Para cada conjunto de N números pseudoaleatorios r1, r2, r3…rn. se divide el intervalo unitario (0,1) en x subintervalos iguales; el número esperado de números pseudoaleatorios que se encontrarán en cada subintervalo es N/x. Si fj (j=1, 2...x) denota el número que realmente se tiene de números pseudoaleatorios ri (i=1,2,...N) en el subintervalo (j-1)/ x ≤ ri < j/x entonces el estadístico:
Tiene aproximadamente una distribución x2 con x-1 g.l…
La hipótesis de que los números pseudoaleatorios en el de conjunto de N números pseudoaleatorios, son verdaderos números pseudoaleatorios, debe rechazarse si x12 con x-1 g.l excede su valor crítico fijado por el nivel de significancia deseado.
Prueba de medios: Consiste en verificar que los números generados tengan una media estadísticamente igual a ½, de este modo la hipótesis planteada es:
H0= Hipótesis nula: μ= ½
H1 = Hipótesis alternativa: μ Diferente de ½.
Pasos a seguir en esta prueba:
1. Calcular la media de los n números generados:
2. Calcular los límites superior e inferior de aceptación:
Si el valor de la media se encuentra entre el límite inferior y el límite superior se acepta entonces que los números aleatorios tienen una media estadísticamente igual a ½ con un nivel de aceptación de 1- α .
Prueba de varianza: Consiste en verificar si los números aleatorios generados tienen una varianza de 0.083, de tal forma que la hipótesis queda expresada como:
El procedimiento a seguir para el uso de este tipo de prueba, es el siguiente:
1. Calcular la variancia de los n números generados V(x).
Si V(x) se encuentra entre los valores de los límites anteriores, entonces se acepta la hipótesis nula y los números aleatorios tienen una variancia estadísticamente igual a 1/12.
Prueba de poker: Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los números generados son estadísticamente independientes entre sí, esto es, que no depende uno de otro. Hay varios métodos, entre los cuales están:
La prueba de Poker.
La prueba de corridas arriba y abajo.
La prueba de corridas arriba debajo de la media.
La prueba de la longitud de las corridas.
La prueba de series
La prueba de poker plantea la siguiente hipótesis:
H0: ri ~ independiente
H1: ri ~ dependiente
El procedimiento a seguir en esta prueba, es el siguiente:
1. Calcular las probabilidades esperadas para un juego de poker con 5 cartas numeradas del 0 al 9 con reemplazos. Se tienen 7 eventos con las siguientes probabilidades:
Calcular la frecuencia esperada de cada uno de los eventos multiplicando la probabilidad de cada evento por la cantidad de números aleatorios generados.
Para cada número aleatorio generado verificar si es pachuca, 1 par, 2 pares, etc., tomando los primeros 5 dígitos a la derecha del punto decimal. Con estos resultados se genera una tabla de frecuencias observadas de cada uno de los eventos.
Calcular la estadística:
Si el valor de XI2 es menor o igual al estadístico de tablas XI2 con m-1 grados de libertad y una probabilidad de rechazo
Prueba de KOLMOGOROV-SMIRNOV: Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una distribución. La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la distribución empírica y la teórica supuesta. D es una variable aleatoria. Se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].
Procedimiento:
1. Se formula la hipótesis nula, Ho. De que los números provienen de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].
2. Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios generados n = 1000. Sea Fn(x), de la siguiente manera:
Fn(x) = i/n
Donde i es la posición que ocupa el número XI en el vector obtenido.
3. Calcule la función de distribución acumulada empírica fn(x) de la siguiente manera. Ordene los valores de la secuencia, tal que para toda i. -Haga Fn(0)
4. Evalúe la estadística de Kolmogorov-Smirnov. A partir de:
Dn = Máx. [Fn (Xi) – Xi] para toda Xi.
5. Consulte la tabla de límites de aceptación para la prueba de kolmogorov- Smirnov, para un tamaño de muestra n y un determinado nivel de riesgo alfa, si D es menor o igual a este número se acepta Ho, de otra manera se rechaza. A continuación se muestra la tabla antes mencionada:
Fuente: Tablas estadísticas. Estadística II. Kolmogorov-Smirnov.
Prueba de las corridas: Existen dos versiones de la prueba de las corridas: la prueba de corridas arriba y abajo del promedio y la prueba de corridas arriba y abajo.
Prueba de corridas arriba y abajo del promedio: La prueba de corridas arriba y abajo del promedio es un caso ligeramente modificado de la prueba de la distancia en la cual α=0 y β=0.5. En esta versión de la prueba de las corridas, una secuencia de números pseudoaleatorios U1,…Un es generada. En seguida una secuencia binaria es obtenida, en la cual el ith término es 0 si UI < 0.5 y 1 si UI>0.5. Una vez obtenida la secuencia binaria, el siguiente paso es determinar la cantidad de veces que una misma longitud de corrida se repite (frecuencia observada de la corrida de longitud i). Una sucesión de i ceros (unos), enmarcada por unos (ceros) en los extremos representa una corrida de longitud i. El número total esperado de corridas y el número esperado para cada tamaño de corrida, se obtienen las siguientes expresiones:
E (total de corridas) = N+1/2
FEi = (N-i+3)/2i+1
Estas frecuencias esperadas son comparadas con las observadas a través de una distribución chi-cuadrada y una decisión sobre la aleatoriedad de los números pseudoaleatorios generados es tomada.
Pruebas de corridas de arriba y abajo: En la prueba de corridas arriba y abajo, una secuencia de números pseudoaleatorios U1….Un es generada, y al igual que es el inciso anterior, una secuencia binaria es obtenida, en la cual el ith término es cero si Ui < Ui+1 y 1 si Ui>Ui+1. Una vez obtenida la secuencia binaria, se sigue el mismo procedimiento descrito anteriormente y se obtiene la frecuencia observada para cada tamaño de corrida. El número total esperado de corridas y el número esperado para cada tamaño de corrida, se obtienen con las siguientes expresiones:
E (total de corridas) = 2N-1/3
FEi = 2 [[(i2+3i+1) N – (i3+3i2-i-4)] / (i+3)!] Para I < N-1
FEN-1 = 2/N! Para I = N-1
Finalmente, el estadístico X0 se determina de acuerdo a la siguiente expresión:
Donde n es el número de términos de la ecuación anterior. Es importante señalar que en el cálculo estadístico de la ecuación anterior, la frecuencia esperada para cada tamaño de corrida debe ser mayor o igual a cinco. Si las frecuencias esperadas para corridas de tamaño grande son menores que 5, tales frecuencias se deben de agrupar con las adyacentes de tal modo que la frecuencias esperada de los tamaños de corrida sea de al menos 5.
Prueba de forma: Esta prueba se empleará en el caso específico de los números aleatorios uniformes entre O y 1, para probar que un conjunto de datos siga esta distribución. De esta manera la hipótesis propuesta se resume como sigue:
H0: ri ~ U [0,1]
H1: ri ~ U [0,1]
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