Procedimiento

¿QUÉ SON CADENAS DE MÁRKOV?

Es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior, es decir que un estado anterior determina un estado futuro.

PROCEDIMIENTO DE CADENA DE MÁRKOV

Un proceso de Markov esta caracterizado por una función de probabilidad de transición representada por T, llamada matriz de transición, que representa la probabilidades de transito de un estado a otro y un vector de probabilidad de estado inicial que representa el estado inicial del mercado. El procedimiento de la cadena de Markov se detallara a continuación con el ejemplo planteado.

 

Ejemplo:

Telefonía móvil de telecomunicación en Colombia: Existen tres operadores: Movistar, Tigo y Comcel.

Vector de estado inicial:

                    
                                Po = [ 0,6522 ; 0,1304 ; 0,2174]

Matriz de transición:

¿Cómo será la participación en el futuro dentro de 6 meses?                             

Para estimar la participación de cada uno de los operadores de telefonía dentro de 6 meses lo primero que hay que hacer es multiplicar el vector de estado inicial por  la matriz de transición:

Para hallar el valor de  T en el periodo 1 se hace lo siguiente:

(0,6522 * 0,6) + (0,1304 * 0,35) + (0,2174 * 0,3) = 0,5015

Para hallar el valor de M en el periodo 1 se hace lo siguiente:

(0,6522 * 0,1) + (0,1304 * 0,4) + (0,2174 * 0,2) = 0,161

Para hallar el valor de C en el periodo 1 se hace lo siguiente:

(0,6522 * 0,3) + (0,1304 * 0,25) + (0,2174 * 0,5) = 0,3275

Entonces se tiene que P1 (Vector de estado en el periodo 1)

                       P1 = [ 0,5015 ; 0,161 ; 0,3275] 

Esta secuencia se hace hasta el P6 cambiando el valor de Po, ya que el estado posterior depende del inmediatamente anterior. 

Tenemos P5:

                           P5= [0,4423; 0,1941; 0,3626]





Valor de  T en el periodo 6:

(0,4423 * 0,6) + (0,1941 * 0,35) + (0,3626 * 0,3) = 0,4420

Valor de M en el periodo 6:

(0,4423 * 0,1) + (0,1941 * 0,4) + (0,3626 * 0,2) = 0,1943

Valor de  C en el periodo 6:

(0,4423 * 0,3) + (0,1941 * 0,25) + (0,3626 * 0,5) = 0,36252

                         P6 = [ 0,4420 ; 0,1943 ; 0,36252]

La participación en el mercado dentro de 6 meses para Tigo es de 0,4420, para Movistar de 0,1943 y para Comcel de 0,3652. Se puede observar que la participación de Tigo disminuyó, aumentó la de Movistar y Comcel.

Fuente: SARABIA VIEJO, Ángel. Universidad pontificia. La investigación operativa. Cadenas de Markov. Pág 321-325.

Cadena Absorbente

Una cadena de Márkov que consta solamente de estados transitorios y absorbentes, se denomina CADENA DE MÁRKOV ABSORBENTE.

Pasos que se deben seguir para la construcción de una matriz de cadena absorbente:

1.  Determinar si la cadena es absorbente. Esto ocurre:

·  Si la cadena tiene por lo menos un estado absorbente (es decir que hay 1 y 0 en la matriz).

·  Si es posible pasar de un estado no absorbente a un estado absorbente.

2.  Forma la matriz de transición T. Ponga el estado absorbente al final. asegúrese de que los renglones y las columnas se encuentran en el mismo orden.

3.  Descarte los renglones que corresponden a los estados absorbentes. Esta información no se requerirá más.

4.  Forme la matriz N a partir de las columnas no absorbentes de la matriz del paso 3 y forme la matriz A partir de las columnas absorbentes.

5.  Calcule la matriz fundamental (I – N) ^-1. Esta matriz proporciona la cantidad esperada de periodos que se empleara en los estados no absorbentes antes de quedar absorbidos. La matriz (I – N) ^-1. Se obtiene de la información de un estado no absorbente, así que se denota con estados no absorbentes.

6.  Calcule y nombre a (I – N) ^-1 A. Esta matriz proporciona la probabilidad de ser absorbidos en cada uno de los estados no absorbentes. Los renglones de (I – N) ^-1 A se encuentran rotulados con los estados no absorbentes y las columnas, con los estados absorbentes.

Ejemplo :

La universidad libre ha estudiado la trayectoria de sus estudiantes y ha descubierto que:

• 70% de los estudiantes de nuevo ingreso, regresarán el año siguiente como estudiantes de segundo año, el 15% volverán como estudiantes de nuevo ingreso, y el resto no regresarán.

• 75% de los estudiantes de segundo año volverán el año siguiente como estudiantes de tercer año, 15% volverán como estudiantes de segundo año y el resto no regresará.

• 80% de los estudiantes de tercer año regresarán el año siguiente, como estudiantes de último año, 10% volverán como estudiantes de tercer año y el resto no regresará.

• 85% de los estudiantes de último año se graduarán, 10% volverán como estudiantes de último año y el resto no regresará.

Hallar lo siguiente por medio de un sistema de ecuaciones o utilizando la herramienta Excel:

a)    ¿Cuántos años pasará un estudiante de nuevo ingreso como estudiantes de nuevo ingreso?

b)    ¿Cuál es la probabilidad de que se gradué un estudiante de nuevo ingreso?

Respuesta:

https://docs.google.com/document/edit?id=1in69RV1qJtGBWY9la6wl9qFZjV4bM88nR1p8jND9ptQ&hl=en&pli=1#

EJERCICIOS RESUELTOS CADENA DE MARKOV UTILIZANDO EXCEL

https://spreadsheets0.google.com/ccc?key=tCEuVKst5yCAM1dPkJ7fPKA&hl=en#gid=1

Fuente: WINSTON WAYNE, L. (1994). Investigación de operaciones, aplicaciones y algoritmos. Segunda edición. Grupo editorial Iberoamérica.